PRODUK KARTESIUS DAN RELASI
Himpunan semua pasangan
berurutan (a,b) dengan a A dan b B disebut himpunan perkalian A dan B atau
produk kartesius A dan B ditulis dengan notasi A x B dan didefinisikan sbb ; A x B =
{(a,b) : a A, b B}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh
Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka A x B = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b),
(2,b), (3,b)} dan B x A = {(a,1),
(a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}
RELASI MATRIKS
Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, . . .,am}
dan B = {b1, b2, . . .,bn}, relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]
Yang dalam hal ini :
Dengan kata lain,
elemen matriks pada posisi (i,j) bernilai 1 jika ai dihubungkan dengan bj dan
bernilai 0 jika ai tidak dihubungkan dengan bj.
Relasi R pada table 1 dapat dinyatakan dengan
matriks :
yang dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 =
Cecep, dan b1 = INF0221
Picture
Diagram Panah
Anggota-anggota
himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal
tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut
diagram panah.
RELASI INVERS
Misalkan R adalah
relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan R-1
adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila
dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ; R-1 =
{(b,a) : (a,b) R}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
Contoh Relasi Invers
Misalkan A = {1, 2} dan
B = {a, b}, maka R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)} merupakan suatu relasi dari A
ke B. Tentukan relasi invers dari R ! Relasi invers dari R adalah ; R-1 =
{(a,1), (b,1), (a,2), (b,2)}
KOMPOSISI RELASI
Komposisi relasi
seperti halnya komposisi fungsi jadi seperti
kombinasi hanya beda macam operasinya.
Misal R adalah relasi
dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan
C. komposisi R dan S dinotasikan dengan
R0S adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh
R0S
= {(a,c)|aЄA, c Є C, dan untuk beberapa bЄB, (a,b)ЄR dan (b,c)ЄS}
Contoh
Misalkan R = {( 1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)}
adalah relasi dari A={1,2,3} dan B={2,4,6,8} ,dan
S={(
2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari B ke C={s,t,u}. Tentukan
komposisi relasi R dan S yaitu R0S
Jawab
R0S = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}
Jika relasi R1 dan R2
masing-masing dinyatakan dalam matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang
menyatakan komposisi dari relasi tersebut adalah
MR1oR2= MR1 . MR2
operator “ 0 “ sama seperti pada perkalian matrik,
tetapi mengganti tanda kali dg L, sedangkan jumlah dengan V
Dalam hal ini ingat
operasi pada aljabar bool yaitu tanda atau(V)
seperti jumlah sedang kan tanda dan(L) seperti kali
1. Refleksif
Relasi R pada himpunan A disebut refleksif, jika (a,a)ЄR untuk setiap aЄA.
Contoh
Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana A={1,2,3,4}
a) Diketahui ,
R={(1,1), (1,3),(2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4)}
b) Diketahui , R={(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.
Tentukan apakah R refleksif ?
Jawab
a) bersifat refleksif karena (a,a) ada dalam R yaitu (1,1), (2,2), (3,3),
dan (4,4)
b) tidak refleksif karena ada (a,a) tidak ada dalam
R yaitu (3,3).
Dilihat dari cara
penulisan relasi, relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks denganbentuk semua bernilai 1 pada diagonal
utamanya , sedangkan graf berarah adanya
gelang pada setiap simpulnya.
2. Simetris (setangkup)
Sebaliknya dikatakan tidak simetris.
Contoh
Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana A={1,2,3,4}
a) Diketahui ,
R={(1,1), (1,2),(2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}
b) Diketahui , R={(1,1), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.
Tentukan apakah R simetris ?
Jawab
a) simetris karena jika (a,b)ЄR, ada juga (b,a)ЄR yaitu (1,2) , (2,1) ЄR, begitu juga
(2,4) , (4,2)ЄR
b) tidak simetris karena (2,3)ЄR tetapi (3,2) tidak
dalam R
Dilihat cara penulisan
relasi, relasi bersifat simetris mempunyai matriks yang elemen-elemen dibawah
diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen diatas diagonal utama,
atau mij = mji umtuk i= 1,2,.......n. sedangkan graf berarahnya mempunyai ciri
: jika ada busur a ke b, maka ada juga busur dari b ke a
3. Transitif (penghantar)
Relasi R pada himpunan A disebut transitif (penghantaf), untuk a, b, c Є A,
jika (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka harus ada (a,c)ЄR.
Contoh
Misal A={1,2,3,4}, dan relasi R pada A
a) diketahui R= {(2,1), (3,1),(3,2), (4,1), (4,2),
(4,3)}
b) Diketahui , R={(1,1), (2,3),
(2,4), (4,2)}.
Tentukan apakah R refleksif ?
Jawab
a) transitif karena memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA,
jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka terlihat ada (a,c)ЄR.
b) tidak bersifat transitif karena tidak memenuhi
syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,tidak terlihat ada
(a,c)ЄR. Dalam hal ini ada (2,4), dan(4,2) tetapi (2,2)ÏR
No comments:
Post a Comment