Mat. dan ilmu aalamiah dasar minggu ke 14 dan 15

PROPOSISI

KONSEP DAN NOTASI DASAR

   Di dalam penggunaan nya bahasa matematika khususnya pada logika sistematis, yang dimaksud proposisi adalah kalimat atau pernyataan yang selalu mempunyai nilai kebenaran, mungkin pernyataan itu bernilai benar saja, atau salah saja, tetapi tidak keduanya.

Notasi pernyataan ditulis dengan huruf kecil p ,q, r, s, t, ¼, dan seterusnya, sedangkan nilai kebenarannya diberi simbol 1 untuk pernyataan yang bernilai benar dan 0 untuk pernyataan yang bernilai salah. 

Tautologi, Kontradiksi dan Ekivalen Logika

Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya. Sebuah Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.

Contoh:
Lihat pada argumen berikut:
Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, maka Tini pergi kulah.
Diubah ke variabel proposional:
A  Tono pergi kuliah
B  Tini pergi kuliah
C  Siska tidur
Diubah lagi menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpilan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan.
(1)   A → B                                    (Premis)
(2)   C → B                         (premis)
   (3) (A V C) → B              (kesimpulan)
Maka sekarang dapat ditulis: ((A → B) ʌ (C → B)) → ((A V C) → B

Kontradiksi adalah kebalikan dari tautologi yaitu suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya. 

Contoh dari Kontradiksi:

1.      (A ʌ ~A)
Pembahasan:

A	~A	(A ʌ ~A)
B S	S B	S S

Dari tabel kebenaran diatas dapatlah disimpulkan bahwa pernyataan majemuk (A ʌ ~A) selalu salah.

Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekuivalensi logika dengan notasi “  dua buah pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen-komponennya.

Aljabar Proposisi

Jika p, q, dan r merupakan proposisi-proposisi maka berlaku:

 1. Hukum idempoten .           a.             pÚ pºp ;             b.      pÙpºp

2. Hukum asosiatif . a. (p Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r)                 b. p Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)

3. Hukum komutatif. a. p Ú q º q Ú p ;                b. p Ù q º q Ù p

4. Hukum distributif a.             p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú r)
b.        p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (p Ù r)

5. Hukum Identitas . a. p Ú Salah º p ;                 b. p Ù Benar º p

6. Hukum Identitas. a. p Ú Benar º Benar ;          b. p Ù Salah º Salah

7. Hukum Komplemen. a. p Ú p º Benar ;            b. p Ù p º Salah


8. Hukum Komplemen . a. p º p ;                        b. Salah º Benar ; Benar = Salah

9. Hukum De Morgan. a. p Ú q º p Ù ;                 b. p Ù q º p Ú q

  IMPLIKASI

“Jika Sore nanti tidak hujan, maka saya akan mengajakmu nonton”. Janji Elzan ini hanyalah berlaku untuk kondisi sore nanti tidak hujan. Akibatnya, jika sore nanti hujan, tidak ada keharusan bagi Elzan untuk mengajak Gusrayani nonton. Misalkan p dan q adalah pernyataan. Suatu implikasi (pernyataan bersyarat) adalah suatu pernyataan majemuk dengan bentuk “jika p maka q”, dilambangkan dengan  p  CodeCogsEqn (7) q. Pernyataan p disebut hipotesis (ada juga yang menamakan anteseden) dari implikasi. Adapun pernyataan q disebut konklusi (atau kesimpulan, dan ada juga yang menamakan konsekuen). Implikasi bernilai salah hanya jika hipotesis p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah

Nama        : Teuku Rafi Riansyah

NPM        :  18513856

Kelas        :  1PA10

Mat. dan ilmu alamiah dasar minggu ke 13

FUNGSI

Sebuah fungsi f adalah suatu aturan korespondensi yang menghubungkan setiap objek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua

Pengertian Domain, Kodomain, Range
Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.
contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".
Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :
{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.
Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :
Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }
Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :
a. Diagram Panah
b. Diagram Cartesius
c. Himpunan pasangan berurutan.
Jawab:
c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),
(4, 8),(6, 6)}

Domain, Kodomain  dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:
a. Domain = { 3, 5 }
Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}
Range = { 1, 2, 8}
b. Domain = { 3, 5, 7, 8}
Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}
Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

Mat. dan ilmu alamiah dasar minggu ke 12

PRODUK KARTESIUS DAN RELASI

Himpunan semua pasangan berurutan (a,b) dengan a A dan b B disebut himpunan perkalian A dan B atau produk kartesius A dan B ditulis dengan notasi     A x B dan didefinisikan sbb ; A x B = {(a,b) : a A, b B}

Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Contoh

Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka          A x B = {(1,a), (2,a), (3,a), (1,b), (2,b), (3,b)}    dan B x A = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}

RELASI MATRIKS

Misalkan R adalah relasi dari A = {a1, a2, . . .,am} dan B = {b1, b2, . . .,bn}, relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij]

Yang dalam hal ini :

Dengan kata lain, elemen matriks pada posisi (i,j) bernilai 1 jika ai dihubungkan dengan bj dan bernilai 0 jika ai tidak dihubungkan dengan bj.

Relasi R pada table 1 dapat dinyatakan dengan matriks :

yang dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cecep, dan b1 = INF0221

Picture

Diagram Panah

Anggota-anggota himpunan P berelasi dengan anggota himpunan Q dengan relasi “menyukai”. Hal tersebut ditunjukkan dengan arah panah. Oleh karena itu, diagramnya disebut diagram panah.

RELASI INVERS

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Invers dari R yang dinyatakan dengan R-1 adalah relasi dari B ke A yang mengandung semua pasangan terurut yang bila dipertukarkan masih termasuk dalam R. Ditulis dalam notasi himpunan sbb ; R-1 = {(b,a) : (a,b) R}

Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI

Contoh Relasi Invers

Misalkan A = {1, 2} dan B = {a, b}, maka R = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b)} merupakan suatu relasi dari A ke B. Tentukan relasi invers dari R ! Relasi invers dari R adalah ; R-1 = {(a,1), (b,1), (a,2), (b,2)}

KOMPOSISI RELASI

Komposisi relasi seperti halnya komposisi fungsi jadi seperti  kombinasi hanya beda macam operasinya.

Misal R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. komposisi R dan S dinotasikan dengan  R0S adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

          R0S = {(a,c)|aЄA, c Є C, dan untuk beberapa bЄB, (a,b)ЄR dan (b,c)ЄS}

Contoh

Misalkan R = {( 1,2),(1,6),(2,4),(3,4),(3,6),(3,8)} adalah relasi dari A={1,2,3} dan B={2,4,6,8} ,dan

 S={( 2,u),(4,s),(4,t),(6,t),(8,u)} adalah relasi dari B ke C={s,t,u}. Tentukan komposisi relasi R dan S yaitu R0S

Jawab

R0S = {(1,u),(1,t),(2,s),(2,t),(3,s),(3,t),(3,u)}

Jika relasi R1 dan R2 masing-masing dinyatakan dalam matriks MR1 dan MR2, maka matriks yang menyatakan komposisi dari relasi tersebut adalah

                                                                                        MR1oR2= MR1 . MR2

operator “ 0 “ sama seperti pada perkalian matrik, tetapi mengganti tanda kali dg L, sedangkan jumlah dengan V

Dalam hal ini ingat operasi pada aljabar bool yaitu tanda atau(V)  seperti jumlah sedang kan tanda dan(L) seperti kali

1. Refleksif

Relasi R pada himpunan A disebut refleksif,  jika (a,a)ЄR untuk setiap aЄA.

Contoh

Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana  A={1,2,3,4}

a) Diketahui ,  R={(1,1), (1,3),(2,1), (2,2), (3,3), (4,2), (4,3), (4,4)}

b) Diketahui , R={(1,1),  (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.

Tentukan apakah R refleksif ?

Jawab

a) bersifat refleksif karena  (a,a) ada dalam R yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4)

b) tidak refleksif karena ada (a,a) tidak ada dalam R yaitu (3,3).

Dilihat dari cara penulisan relasi, relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks  denganbentuk semua bernilai 1 pada diagonal utamanya ,  sedangkan graf berarah adanya gelang pada setiap simpulnya.

2. Simetris (setangkup)

Sebaliknya dikatakan tidak simetris.

Contoh

Relasi R didefinisikan pada himpunan A dimana  A={1,2,3,4}

a) Diketahui ,  R={(1,1), (1,2),(2,1), (2,2), (2,4), (4,2), (4,4)}

b) Diketahui , R={(1,1),  (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)}.

Tentukan apakah R simetris ?

Jawab

a) simetris karena jika (a,b)ЄR, ada juga  (b,a)ЄR yaitu (1,2) , (2,1) ЄR, begitu juga (2,4) , (4,2)ЄR

b) tidak simetris karena (2,3)ЄR tetapi (3,2) tidak dalam R

Dilihat cara penulisan relasi, relasi bersifat simetris mempunyai matriks yang elemen-elemen dibawah diagonal utama merupakan pencerminan dari elemen-elemen diatas diagonal utama, atau mij = mji umtuk i= 1,2,.......n. sedangkan graf berarahnya mempunyai ciri : jika ada busur a ke b, maka ada juga busur dari b ke a

3. Transitif (penghantar)

Relasi R pada himpunan A disebut  transitif (penghantaf), untuk a, b, c Є A, jika (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka harus ada (a,c)ЄR.

Contoh

Misal A={1,2,3,4}, dan relasi R pada A

a) diketahui R= {(2,1), (3,1),(3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}

b) Diketahui , R={(1,1),  (2,3),  (2,4), (4,2)}.

Tentukan apakah R refleksif ?

Jawab

a) transitif karena memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,maka terlihat ada (a,c)ЄR.

b) tidak bersifat transitif karena tidak memenuhi syarat untuk, a,b,c ЄA, jika ada (a,b)ЄR dan (b,c)ЄR,tidak terlihat ada (a,c)ЄR. Dalam hal ini ada (2,4), dan(4,2) tetapi (2,2)ÏR

Tugas Softskill Minggu ke-10

A. Pengertian, Penulisan, dan Macam Himpunan

Dalam matematika teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

NOTASI HIMPUNAN

biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya S, A, atau B, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (a, c, z).

RELASI ANTAR HIMPUNAN

HIMPUNAN BAGIAN

Dari suatu himpunan, misalnya A = {Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.

·         {Kucing,Anjing}

·         {Anjing, Monyet}

·         {Kucing, Kelinci, Monyet}

Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan A. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dariA. Jadi dapat dirumuskan:

B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.

Kalimat di atas tetap benar untuk B himpunan kosong. Maka  juga subhimpunan dari A.

Untuk sembarang himpunan A,

Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari A adalah A sendiri.

Untuk sembarang himpunan A,

Istilah subhimpunan dari A biasanya berarti mencakup A sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari A, tetapi bukan A sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.

Himpunan bagian sejati dari A menunjuk pada himpunan bagian dari A, tetapi tidak mencakup A sendiri.

SUPER HIMPUNAN

Kebalikan dari subhimpunan adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.

KESAMAAN DUA HIMPUNAN

Himpunan A dan B disebut sama, jika setiap anggota A adalah anggota B, dan sebaliknya, setiap anggota B adalah anggota A.

Atau Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan A dan B adalah sama. Pertama, buktikan dahulu A adalah subhimpunan B, kemudian buktikan bahwa Badalah subhimpunan A.

HIMPUNAN KUASA

Himpunan kuasa atau himpunan pangkat (power set) dari A adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari A. 

Jika A = {Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet }

 { { },

   {Kucing}, {Anjing}, { Kelinci }, { Monyet },

   {Kucing, Anjing}, {Kucing, Kelinci }, {Kucing, Monyet },

   {Anjing, Kelinci }, {Anjing, Monyet }, { Kelinci, Monyet },

   {Kucing, Anjing, Kelinci }, {Kucing, Anjing, Monyet }, {Kucing, Kelinci, Monyet }, {Anjing, Kelinci, Monyet },

   {Kucing, Anjing, Kelinci, Monyet } }

Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2 pangkat banyaknya anggota A.

B. DIAGRAM VENN

Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika

C.  OPERASI ANTARA HIMPUNAN

1. Pengertian Himpunan

Secara sederhana, himpunan artinya kumpulanbenda (objek). Sedangkan dalam dunia matematika himpunan didefiniskan sebagai suatu kumpulan benda (objek) tertentu dengan batasan yang jelas.

misalnya:

1) A adalah nama bulan yang dimulai dengan huruf J, A = {Januari, Juni, Juli}.

2) B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 7, maka B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Menyajikan himpunan dalam bentuk pendaftaran (tabulasi) dan perincian

Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar A, B, C, X, A1, A2, dsb. Anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil a, b, c, x, x1, y, y1,
Himpunan dapat disajikan dengan cara:
1. Mendaftar anggota-anggotanya di dalam tanda kurung kurawal.
Contoh:
a. N adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari lima disajikan dengan
N = {1, 2, 3, 4}.
b. P adalah himpunan konsonan yang membentuk kata “Jaringan” disajikan dengan
P = {j, r, g, n}.

2. Menyajikan sifat-sifat anggotanya
Contoh:
a. A = {bilangan asli}
b. C = {bilangan cacah}
c. D = {bilangan bulat negatif}
d. E = {bilangan cacah yang kurang dari lima}


3. Menggunakan notasi pembentuk himpunan. Dengan cara ini himpunan disajikan dalam bentuk
{x | x bersifat R}, dibaca himpunan x di mana x bersifat R.
Contoh:
a. Himpunan A di atas disajikan dengan
A = {x | x adalah bilangan asli}.
b. Himpunan E di atas disajikan dengan
E = {x | x adalah bilangan cacah dan x < 5}.


Banyak anggota dari himpunan A dinotasikan dengan n(A).
Contoh: n({1, 2, 3, 4}) = 4,
n{} = 0,
n({bilangan asli}) = tak terhingga

3. . Menyebutkan macam-macam himpunan berdasarkan jumlah anggotanya atau hubungan

1.      Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.  

Dinyatakan dengan simbol :   A ⊂  B 

Contoh :

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4}

2.      Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.

Contoh :

A = {x Î R |x² + 4 = 0 }

3.      Himpunan Semesta

Contoh :

a.       Apabila kita membicarakan himpunan A maka yang dapat menjadi himpunan semesta adalah:

U = himpunan bilangan cacah

4. Menggambarkan hubungan antara himpunan dengan Diagram Venn

Kalian telah mempelajari cara membaca diagram Venn. Sekarang, kita akan mempelajari cara menyajikan suatu himpunan ke dalam diagram Venn. Misalkan S = {1, 2, 3, ..., 10}, P = {1, 3, 5, 7, 9}, dan Q = {2, 3, 5, 7}. Himpunan P  Q = {3, 5, 7}, sehingga dapat dikatakan bahwa himpunan P dan Q saling berpotongan. Diagram Venn yang menyatakan hubungan himpunan S, P, dan Q, seperti Gambar di bawah ini.

5. Menjelaskan kembali operasi-operasi antar himpunan berikut contohnya

Dalam teori himpunan ada aturan atau hukum yang menghubungkan himpunan yang satu dengan yang lain. Ada tiga operasi himpunan, yaitu : operasi gabungan, operasi irisan, dan operasi selisih.

1.     OPERASI GABUNGAN (UNION)

Operasi Gabungan (union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A  atau anggota B  atau anggota keduanya, didefinisikan sebagai berikut :

A È B = { x | x Î A V x Î B }

.

Contoh     :

      a. Jika A = { 2,4,6,8,10 } dan

                    B = { 1,3,5,7,9 } ,maka

                          A È B = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }

2.     OPERASI IRISAN (INTERSECTION)

Irisan (interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A ÇB, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A  dan  B, dapat  didefinisikan sebagai berikut :

A ∩ B = {x| x   ϵ A  ʌ  x ϵ B } (Tanda ʌ artinya dan)

        

3.     OPERASI SELISIH

Selisih (difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A  yang bukan merupakan anggota himpunan  B. Jadi A – B berbeda dengan B – A. Perhatikan Gb. 1.4, daerah yang diarsir merupakan selisih A dan B. Dapat didefinisikan sebagai berikut :

A – B = { x | x Î A ʌ x Ï B }

D. HIMPUNAN BILANGAN DAN SKEMANYA

1.    Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

N = {1,2,3,4,5,6,......}

2.    Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

P = {2,3,5,7,11,13,....}

3.    Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

4.    Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

5.    Himpunan bilangan rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain

E. BILANGAN BULAT DAN RIIL

1.       Mengenal himpunan Bilangan, menyebutkan sifat-sifat bilangan dan anggotanya

HIMPUNAN

            Suatu himpunan didefinisikan sebagai koleksi objek-objek berbeda yang terdefinisi dengan baik. Anggota suatu himpunan disebut elemen atau titik. Kata berbeda dimaksud bahwa elemen yang sama hanya ditulis satu kali, sedang yang dimaksud dengan terdefinisi dengan baik artinya kita dapat membedakan mana yang objek yang menjadi anggota himpunan dan mana objek yang bukan anggota. Dengan demikian jika diambil satu objek, kita dapat mengatakan objek itu anggota himpunan atau tidak.

            

2.       Membedakan Bilangan Bulat dan Riil

Bilangan bulat

Contoh:

2 x 3 akan menghasilkan 6 dimana 2 adalah bilangan bulat, 3 adalah bilangan bulat dan 6 adalah bilangan bulat.

2 – 3 akan menghasilkan -1 dengan -1 adalah bilangan bulat negatif

2 + 3 akan menghasilkan 5 dengan 5 adalah bilangan bulat positif

sedangkan 2 / 3 akan menghasilkan 0,67 dimana 0,67 (pembulatan) adalah bilangan riil / bilangan asli.